답변내용
\'나는 나를 포함할 수 있는가\'는 러셀의 역설이라고 부르는 문제입니다.
모든 집합의 집합을 (만들수 있다고 가정할 때) 전체집합 U라 하자.
이때 R = {S in U : S not in S}을 정의하면,
즉 R을 {전체 집합 U에 포함되지만 자기을 제외한 집합} 이라 하자.
R은 R을 포함한다고 하여도 모순이고 포함하지 않는다고 하여도 모순임.
1. R은 자기자신을 제외한 집합이라고 했으니, 포함한다고 하면 모순.
2. R이 자기자신을 포함함지 않는다고 하면
R의 정의가 자기자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합이므로 모순
비유를 들자면 \"자기스스로 머리를 깍지 않는 사람들 모두의 머리를
깍아주는 이발사\"가 있다고 하면, 이 이발사는 자신의 머리를 깍을까요?
1. 깍아주지 않는다고 하면, 스스로 머리를 깍지 않으므로 포함되어야 하고
2. 깍아준다고 하면, 이발사는 스스로 머리를 깍지 않는 사람들만
깍는다고 했으니 역시 모순
이와 같은 모순이 생기는 이유는 \"모든 집합의 집합\", \"모두\"와 같이
너무 큰 집합을 가정했기 때문입니다. 나 자신도 포함되는 무한집합을 정의하면
러셀의 모순이 생기므로, 집합론은 나를 포함하는 무한 집합은 다루지 않습니다.
- 이준엽 드림(이화여대 수학과 교수)
