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수에 대한 개념에 본질은 어떤 것인가요?
우주가 수학적인 재료로 이루어져 있으며, 수학자의 역할은 오직 그것을 발견하는 것인가요?
아니면 마치 색깔을 감각하는 것처럼 자연에 있는 어떤 성질을 인간이 이미 보유하고 있고 이해가능한 형태로 추출하여 감각하는 것인가요?
철학적인 질문을 주셨네요? 고맙습니다.
독일의 수학자였던 크로네커는 "정수는 신이 만들었지만 나머지 모든 것은 인간이 만들었다"고 했습니다.
수학자들도 우주가 돌아가는 모습에서 영감을 얻어서 새로운 이론을 만들어내곤 합니다.
하지만 현대 수학자들은 엄밀성을 추구하기 위해 우리가 사는 우주보다는 수학자들이 건설한 세계인 공리 체계 안에서 참인 명제를 모으고 분류하고 확장하는데 힘을 쏟습니다.
물론 이러한 공리 체계를 만들때 우리가 경험하는 수가 포함되도록, 그리고 우리가 경험하는 우주와 비슷하도록 설계하는 덕에 우주를 잘 설명할 수 있게 되었지요.
무한을 다르는 수학 이론으로 들어가보면 인간이 가진 상식과 어긋나는 특이한 결과들이 많습니다.
어떤 공리를 약속하느냐에 따라 나타나는 세상이 매우 다릅니다.
예컨데, 바나흐 타르스키 역설 같은 것을 처음 보면 대단히 믿기 어렵습니다.
즉 어떻게 보면 수학자들은 우리가 사는 우주가 아닌 자기가 좋아하는 공리로 구성된 세계에서
완벽한 논리로 증명된 사실들이 어떤 모습인지 발견하는 작업을 하고 있다고 생각할 수 있을 것 같습니다.
- 엄상일 드림(카이스트 수리과학과 교수)
미래의 수학자라는 강연과 패널토의에서 Coq는 증명을 도와주는 프로그램이라고 하셨는데요. 그렇다면 Coq는 어떤 방식으로 검증이 되는 건지 궁금합니다.
Coq 증명 보조기는 두 영역으로 나누어져 있습니다.

하나는 논리증명 영역이고, 다른 하나는 완성된 증명의 안전성을 확인하는 검증영역입니다. 논리증명 영역은 수리논리학자들이 기존에 세워 놓은 이론을 코드로 구현한 영역이고, 검증영역은 논리증명 영역에서 생성된 모든 증명과 프로그램이 지정된 결과를 제대로 도출하는가 여부를 최종 확인하는 영역입니다.

논리증명 영역은 기존의 수리논리 이론에 대한 연구결과를 통해 검증되었다고 봅니다. 반면에 검증영역의 경우는 좀 더 어렵습니다. 검증영역은 Coq의 핵심이며 따라서 커널(kernel)에 포함되어 있습니다. 그런데 커널을 구현하는 코드는 3천여 줄에 불과합니다. 따라서 사람들이 섬세한 부분까지 직접 눈으로 조심스럽게 검증을 합니다. 물론 다양한 검증 도구를 이용하기도 합니다. 이런 식으로 사람이 직접, 아니면 도구들 간의 상호검증 방식을 이용합니다.

물론 언급된 방식은 100% 안전성을 보장하지 못합니다. 사실, 어떤 방식을 이용한다 하더라도 Coq과 같은 도구를 100% 검증하는 일은 불가능합니다. 그래서 개발자들은 커널 부분을 절대로 크게 만들지 않습니다. 예상못하는 문제를 피하기 위해서입니다. Automath라는 최초의 자동증명기를 구현한 드 브로인(de Bruijn)이라는 저명한 네덜란드 논리학자가 이미 1970년대에 이 문제를 언급하고 작은 커널을 사용해야 한다는 원칙을 제안하였는데, 그래서 "드 브로인 원칙"이라고 불리기도 합니다. - 이계식 드림(한경대 컴퓨터공학과 교수)
"나는 나인가"라는 주제가 수학적으로 다루어 진 적이 있나요?
나=나 인가요?
'나는 나를 포함할 수 있는가'는 러셀의 역설이라고 부르는 문제입니다.
모든 집합의 집합을 (만들수 있다고 가정할 때) 전체집합 U라 하자.
이때 R = {S in U : S not in S}을 정의하면,
즉 R을 {전체 집합 U에 포함되지만 자기을 제외한 집합} 이라 하자.

R은 R을 포함한다고 하여도 모순이고 포함하지 않는다고 하여도 모순임.
1. R은 자기자신을 제외한 집합이라고 했으니, 포함한다고 하면 모순.
2. R이 자기자신을 포함함지 않는다고 하면
R의 정의가 자기자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합이므로 모순

비유를 들자면 "자기스스로 머리를 깍지 않는 사람들 모두의 머리를
깍아주는 이발사"가 있다고 하면, 이 이발사는 자신의 머리를 깍을까요?

1. 깍아주지 않는다고 하면, 스스로 머리를 깍지 않으므로 포함되어야 하고
2. 깍아준다고 하면, 이발사는 스스로 머리를 깍지 않는 사람들만
깍는다고 했으니 역시 모순

이와 같은 모순이 생기는 이유는 "모든 집합의 집합", "모두"와 같이
너무 큰 집합을 가정했기 때문입니다. 나 자신도 포함되는 무한집합을 정의하면
러셀의 모순이 생기므로, 집합론은 나를 포함하는 무한 집합은 다루지 않습니다.

- 이준엽 드림(이화여대 수학과 교수)
인공지능이 감정을 나타내는 것이 실제로 감정을 느끼는 것이 아니라 인간의 반응 데이터를 분석하여 상황에 맞는 감정표현을 하는 것이 아닐까요? 실제로 인공지능이 자아와 감정을 갖는 것이 가능한지 궁금하네요!
감정을 느낀다든지, 자아를 갖는다는게 뭘까요? 인공지능은 기본적으로 그렇게 보이도록, 마치 감정이나 자아를 갖는 것처럼 보여지도록 하는걸 목표로 합니다. 말씀하신 것과 같은 것도 그렇게 보이도록 하는 한 방법이 될 수는 있겠지만 매우 다양한 방법이 시도되고 있습니다. 일부는 전혀 사람이 하는 것과 다른 방법도 있고, 일부는 제한적이지만 생물학적이나 심리학적으로 밝혀진 사실에 근거하는 방법도 있습니다. 중요한 건 인간이 느끼는 것과 같이 감정을 갖는건 아닙니다. 아직 인간도 어떻게 하는지 모르는게 많은데 그걸 어떻게 같은 방법으로 만들겠어요. -조성배 드림(연세대 컴퓨터과학과 교수)
4차 산업혁명을 정의해주세요.
이번 강연과 토론에서도 장시간 논의된 것처럼 4차 산업혁명의 실체에 대해서는 논쟁의 소지가 있는데, 사전적인 정의는 사람, 사물, 공간이 IoT, CPS와 네트워크로 초연결되어 AI로 초지능화됨으로써 산업과 사회에 혁신을 일으키는 것이라고 합니다. 애매하기도 하고 아직 끝나지 않고 진행중인 현상에 대해 평가하는게 자연스러워보이지 않아 그냥 3차 산업혁명의 끝자락을 호사가들이 선동하는거라고 평가절하하기도 합니다. 하지만 이름이야 뭐가 되었든 현재 우리 경제와 사회가 직면하고 있는 뉴노멀을 헤쳐나가기 위해서는 새로운 성장동력이 필요한데, 3차 산업혁명으로 얻은 ICT 인프라를 활용해서 생산성과 편의성을 향상시키려는 움직임으로 보면 좋겠습니다. - 조성배 드림(연세대 컴퓨터과학과 교수)
강의 재미있게 잘 들었습니다. 인공지능이 발달하면 분신을 여러개 만들어 손오공이 쓰던 분신술도 가능한지 궁금합니다.
과학적인 상상력이 풍부한 재미있는 질문이네요.^^ 그런거 있으면 좋겠네요. 엄밀한 의미에서 물리적으로 분신술을 구현하는건 지능이외에도 풀어야할 문제가 많아서 당장은 불가능해보입니다. 단, 그와 비슷한 일은 인공지능이 하려고 시도합니다. 내가 경험한 모든 내용을 라이프로그라고 하는데 이를 잘 저장하고 분석하면 나를 대신해서 전화를 받는다든지, 숙제를 대신 하기도 하는 비서를 만들 수 있겠지요. 인공비서나 가상비서라고도 하는데 요즘 많이 나오고 있는 인공지능 스피커도 그런 아바타의 초기 버젼이라고 할 수 있습니다.- 조성배 드림(연세대 컴퓨터과학과 교수)
적색편이는 가시광선을 포함한 모든 전자기파에서 일어나나요? 그러면 먼 우주에서 온 별빛이 적외선 등의 형태로 관측될 수도 있나요?
네, 적색편이는 모든 전자기파에서 일어나는 현상입니다. 따라서 천체의 빛이 적외선의 형태로 관측되기도 하며 이를 이라고 합니다.
전자기파의 에너지를 결정하는 요인은 진폭인가요, 파장인가요?
전자기파(빛)은 파동과 입자의 성질을 동시에 갖고 있는 이상한 존재입니다. 파동으로 볼 때 보통 ‘전자기파’라 하고 빛으로 볼 때 ‘광자’라고 하는데 광자가 잔뜩 모여 있는 게 빛이라고 생각하면 되겠습니다. 광자가 많으면 밝고 광자가 적으면 어둡습니다. 파동(전자기파)의 경우 그 에너지를 결정하는 것은 진폭입니다. 파동의 크기인 셈이죠. 파고가 높은 파도가 더 큰 위력을 갖고 있는 것과 마찬가지입니다. 이를 ‘광자’의 입장에서 보면 광자가 많이 몰려있는 경우입니다. 하지만 입자의 측면에서 광자의 에너지를 결정하는 것은 진폭이 아니라 파장(또는 파장의 역수인 진동수)입니다. 플랑크와 아인슈타인에 의해 정립된 그 유명한 ‘광양자가설’이죠. 빛이 아주 작은 스케일에서 다른 것과 상호작용할 때는 파동적 성격보다 입자적 성격이 중요하기 때문에 파동으로서의 에너지보다 입자로서의 에너지가 중요해집니다. 하지만 입자인 광자를 파동의 성격인 파장 또는 진동수로 그 에너지를 나타낸다는 것 자체가 이미 모순을 내포하고 있는 셈입니다. ‘빛이 정확히 어떻게 생겼느냐’를 정확히 나타내는 과학적 모델은 아직 존재하지 않습니다.
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