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수학
수에 대한 개념에 본질은 어떤 것인가요?
우주가 수학적인 재료로 이루어져 있으며, 수학자의 역할은 오직 그것을 발견하는 것인가요?
아니면 마치 색깔을 감각하는 것처럼 자연에 있는 어떤 성질을 인간이 이미 보유하고 있고 이해가능한 형태로 추출하여 감각하는 것인가요?
철학적인 질문을 주셨네요? 고맙습니다.
독일의 수학자였던 크로네커는 "정수는 신이 만들었지만 나머지 모든 것은 인간이 만들었다"고 했습니다.
수학자들도 우주가 돌아가는 모습에서 영감을 얻어서 새로운 이론을 만들어내곤 합니다.
하지만 현대 수학자들은 엄밀성을 추구하기 위해 우리가 사는 우주보다는 수학자들이 건설한 세계인 공리 체계 안에서 참인 명제를 모으고 분류하고 확장하는데 힘을 쏟습니다.
물론 이러한 공리 체계를 만들때 우리가 경험하는 수가 포함되도록, 그리고 우리가 경험하는 우주와 비슷하도록 설계하는 덕에 우주를 잘 설명할 수 있게 되었지요.
무한을 다르는 수학 이론으로 들어가보면 인간이 가진 상식과 어긋나는 특이한 결과들이 많습니다.
어떤 공리를 약속하느냐에 따라 나타나는 세상이 매우 다릅니다.
예컨데, 바나흐 타르스키 역설 같은 것을 처음 보면 대단히 믿기 어렵습니다.
즉 어떻게 보면 수학자들은 우리가 사는 우주가 아닌 자기가 좋아하는 공리로 구성된 세계에서
완벽한 논리로 증명된 사실들이 어떤 모습인지 발견하는 작업을 하고 있다고 생각할 수 있을 것 같습니다.
- 엄상일 드림(카이스트 수리과학과 교수)
미래의 수학자라는 강연과 패널토의에서 Coq는 증명을 도와주는 프로그램이라고 하셨는데요. 그렇다면 Coq는 어떤 방식으로 검증이 되는 건지 궁금합니다.
Coq 증명 보조기는 두 영역으로 나누어져 있습니다.

하나는 논리증명 영역이고, 다른 하나는 완성된 증명의 안전성을 확인하는 검증영역입니다. 논리증명 영역은 수리논리학자들이 기존에 세워 놓은 이론을 코드로 구현한 영역이고, 검증영역은 논리증명 영역에서 생성된 모든 증명과 프로그램이 지정된 결과를 제대로 도출하는가 여부를 최종 확인하는 영역입니다.

논리증명 영역은 기존의 수리논리 이론에 대한 연구결과를 통해 검증되었다고 봅니다. 반면에 검증영역의 경우는 좀 더 어렵습니다. 검증영역은 Coq의 핵심이며 따라서 커널(kernel)에 포함되어 있습니다. 그런데 커널을 구현하는 코드는 3천여 줄에 불과합니다. 따라서 사람들이 섬세한 부분까지 직접 눈으로 조심스럽게 검증을 합니다. 물론 다양한 검증 도구를 이용하기도 합니다. 이런 식으로 사람이 직접, 아니면 도구들 간의 상호검증 방식을 이용합니다.

물론 언급된 방식은 100% 안전성을 보장하지 못합니다. 사실, 어떤 방식을 이용한다 하더라도 Coq과 같은 도구를 100% 검증하는 일은 불가능합니다. 그래서 개발자들은 커널 부분을 절대로 크게 만들지 않습니다. 예상못하는 문제를 피하기 위해서입니다. Automath라는 최초의 자동증명기를 구현한 드 브로인(de Bruijn)이라는 저명한 네덜란드 논리학자가 이미 1970년대에 이 문제를 언급하고 작은 커널을 사용해야 한다는 원칙을 제안하였는데, 그래서 "드 브로인 원칙"이라고 불리기도 합니다. - 이계식 드림(한경대 컴퓨터공학과 교수)
"나는 나인가"라는 주제가 수학적으로 다루어 진 적이 있나요?
나=나 인가요?
'나는 나를 포함할 수 있는가'는 러셀의 역설이라고 부르는 문제입니다.
모든 집합의 집합을 (만들수 있다고 가정할 때) 전체집합 U라 하자.
이때 R = {S in U : S not in S}을 정의하면,
즉 R을 {전체 집합 U에 포함되지만 자기을 제외한 집합} 이라 하자.

R은 R을 포함한다고 하여도 모순이고 포함하지 않는다고 하여도 모순임.
1. R은 자기자신을 제외한 집합이라고 했으니, 포함한다고 하면 모순.
2. R이 자기자신을 포함함지 않는다고 하면
R의 정의가 자기자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합이므로 모순

비유를 들자면 "자기스스로 머리를 깍지 않는 사람들 모두의 머리를
깍아주는 이발사"가 있다고 하면, 이 이발사는 자신의 머리를 깍을까요?

1. 깍아주지 않는다고 하면, 스스로 머리를 깍지 않으므로 포함되어야 하고
2. 깍아준다고 하면, 이발사는 스스로 머리를 깍지 않는 사람들만
깍는다고 했으니 역시 모순

이와 같은 모순이 생기는 이유는 "모든 집합의 집합", "모두"와 같이
너무 큰 집합을 가정했기 때문입니다. 나 자신도 포함되는 무한집합을 정의하면
러셀의 모순이 생기므로, 집합론은 나를 포함하는 무한 집합은 다루지 않습니다.

- 이준엽 드림(이화여대 수학과 교수)
'내가 벽을 뚫고 지나갈 확률이 0은 아니다' 라는 것과, '실제 그런 일은 일어나지는 않는다' 라는 것은 모순 아닌가요? 실제로는 어떠한 경우라도 나타날 수 없는 명제에 대해서, 왜 수학적 확률은 0이 아닌건가요?
‘일어날 확률이 극히 작다’와 ‘일어날 확률이 없다(확률이 0이다)’라는 것은 다른 얘기입니다. 동전을 50번 던졌을 때 50번 모두 앞면이 나올 확률은 2의 50승 분의 1, 엄청나게 작은 확률입니다. 그러나 전혀 일어날 수 없는 사건은 아닙니다. 이를테면 동전을 5회 던져서 5번 모두 앞면이 나올 확률은 2의 5승 분의 1 다시말해 1/32입니다. 우리 생활 속에서도 충분히 일어날 수 있는 사건입니다. 그렇다면 몇 회 쯤 던졌을 때 모두 앞면이 나오는 것을 거의 일어날 수 없는 사건이라고 말해야 하는 걸까요? 애매하겠지요? 그 경계선을 딱하고 긋기는 어렵습니다. 2의 50승은 대략 1000조에 해당하는 어마어마한 숫자입니다. 동전 50번이 모두 앞면이 나올 가능성은 거의 없다는 얘기죠. 하지만 그 가능성이 0은 아닙니다. 시행을 10000조 쯤 하면 10번 정도는 나올 수 있다는 얘기입니다. 우주의 시간과 규모는 인간의 상상을 초월할 정도로 어마어마합니다. 이런 사건도 드물지만 때로는 일어날 수 있다는 얘기인 거죠. 따라서 확률이 극히 작은 경우와 0인 경우는 구별해야 합니다.
2분의 3이나 3분의 4와 같이, 1과 단위분수의 합인 분수를 영어로는 superparticular ratio 또는 epimoric ratio라고 하는데요, 한국어로는 이 분수 또는 비율을 무엇이라고 하나요?
글쎄요, 한국어로는 별도의 명칭이 없는 걸고 아는데 몇 분 수학 교수님께 다시 한번 여쭤보도록 하겠습니다.
수학에 대한 질문이 될지는 모르겠으나, 질문을 드려봅니다.
수학에 관심이 많아서 깊이 있게 공부하고 싶어서 혼자 공부하고 있지만 공부를 하다보면 정말 막막한 문제를 많이 만나고, 또 가끔은 증명에 쓰인 발상 자체가 너무 생소한 경우가 있어서, 스스로 아 나는 정말 멍청한건가 느끼기도 하고, 혼자 공부하기가 어렵습니다. 어떻게 하는 것이 수학을 재밌게 그리고 잘 공부할 수 있는 방법일까요? 첨단의 수학분야를 혼자 공부하는 것은 무리일까요?
네 일단 저희 재단은 자연과학 뿐 아니라 수학도 다루고 있다는 걸 알려 드립니다. 수학은 ‘과학의 언어'니까요. 일반적으로 수학은 굉장히 어려운 학문으로 인식되고 있고 그것이 어느정도는 사실입니다. 그것을 혼자 공부하고 계시다니 일단 놀랍고도 존경스럽습니다. 수학은 그 수준이 천차만별이라 질문하신 분의 수준이 어떤지, 지금 공부하고 계신 게 어떤 건지를 모르고는 사실 뭐라 답변드리기 곤란할 것 같습니다. 하지만 말씀하신대로 첨단의 수학 분야를 혼자 공부하는 것은 일반적으로 무리가 있을 수 있을 것 같습니다. 저희 과학위원 중에는 저명한 수학자이신 고계원 교수님도 계시고 저희 자문으로는 옥스퍼드 대학의 김민형 교수님도 계시니 공부하시다 이해가 되지 않는 부분은 질문해 주세요.
평면에서의 벡터 외적이 가능한가요? 그리고 내적은 방향이 없지만 외적은 방향이 생기는 이유는 무엇입니까?
2차원 평면에서는 벡터의 외적이 정의될 수 없습니다. 왜냐하면 외적은 두 벡터에 동시에 수직인 벡터로 정의되기 때문에 반드시 3차원 공간이 필요하기 때문입니다. 그리고 전번 질문에서도 얘기했지만 벡터 외적은 기본적으로 자기장 내에서 전하(전기를 띤 입자)가 받는 '힘'을 설명하기 위해 정의된 개념이기 때문에 방향이 중요합니다. 힘이 크기와 방향을 가진 벡터라는 것은 알고 계시죠? 따라서 외적도 벡터입니다. '내적은 뱡향이 없지만 외적은 방향이 생기는 이유는?'라는 질문은 사실 주객이 전도된 질문입니다. 내적과 외적은 정의된 개념일 뿐입니다. 내적은 주로 두 벡터의 방향성 즉 두 벡터가 이루는 각이 얼마인지와 연관된 개념이기 때문에 방향이 없는 스칼라양으로 정의되었다고 이해하시면 될 것 같습니다. (각은 방향이 없는 스칼라양이겠죠?)
벡터의 외적에서 방향을 곱한다는 의미가 무엇입니까?
아마도 벡터의 외적에서 A방향의 벡터와 B방향의 벡터를 곱할 때 그 결과로 나타나는 벡터는 어느 방향인가를 물어보는 질문인 것 같습니다. '오른나사의 법칙'이라고 들어보셨는지요? 오른손으로 A방향에서 B방향으로 회전하듯 말아쥘 때 엄지손가락이 가리키는 방향입니다. (그림을 사용할 수 없어 답답하군요.) 그러면 A벡터와 B벡터에 동시에 직각인 벡터가 나타나겠지요.
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