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수학
미래를 내다봤을 때 컴퓨터 프로그래밍, 보안 쪽 전망은 어떻게 될까요. 그리고 컴퓨터 과학과 이 분야들이 어떻게 다른지 궁금합니다
전망은 좋은 편입니다. 이 분야들도 컴퓨터과학의 일부입니다.
컴퓨터기술들의 핵심들이 어떻게 발전하고 있는지는 [컴퓨터과학이 여는 세계](책 또는 유투브)를 보는 것을 추천합니다.
보안은 분야가 넓게 퍼져있습니다. 왼쪽끝은 암호학으로 오른쪽끝은 해킹으로.
오른쪽으로 갈 수로 "학술적인" 내용은 부족한 면이 있습니다.
- 이광근 드림(서울대 컴퓨터공학부 교수)
안녕하세요. '수학의 대통일 이론? 랭랜즈 프로그램에 대하여'의 강연 내용 중에 미국에서 수학이 무얼 하는 것이며 왜 중요한지였나요 그와 같은 보고서를 제출하라고 했다는 것을 알려주셨는데요. 그 보고서를 저도 보고 싶어요. 출처를 좀 알려주시겠어요? 그리고 혹시 더 쉽게 그러한 요지를 파악할 수 있는 논문이나 보고서도 괜찮습니다. 감사합니다.
(강연자와 패널 두 분 교수님께서 답장을 주셨습니다.)

1. 신석우 교수 답장
해당 질문에 나온 보고서는 정경훈 교수님 강연 중에 나온 것인데 인터넷 검색으로는 쉽게 안 찾아지네요. 정 교수님께서 정확한 출처를 아시지 않을까 합니다.
거기 인용된 내용과 어느 정도 연관이 있는 survey paper (한글 번역이 뭔지 모르겠네요) 로는 Gelbart가 1984년에 쓴
https://pdfs.semanticscholar.org/eeb9/79c33e6611ccc42d06be585002c9f2ad6b38.pdf
가 있습니다. 두번째 페이지에 랭랜즈 프로그램이 에를랑겐 프로그램의 후계자라고 볼 수 있다는 얘기가 나옵니다.
학술지가 아닌 대중매체에서 최근에 랭랜즈의 아벨상 수상 소식을 언급한 것으로는 제가 강연 머릿부분에서 언급한 뉴욕타임스 기사
https://www.nytimes.com/2018/03/20/science/robert-langlands-abel-prize-mathematics.html
그리고 학계 소식을 대중에게 전하는 quanta magazine에 실린
https://www.quantamagazine.org/robert-langlands-mathematical-visionary-wins-the-abel-prize-20180320/
를 꼽을 수 있겠습니다.
- 신석우 드림(버클리대 수학과 교수)

2. 정경훈 교수 답장
안녕하세요, 공식 제목은
"Report of the research briefing panel on mathematics"입니다.
예를 들어
https://books.google.co.kr/books?id=zUIrAAAAYAAJ&pg=PA1&lpg=PA1&dq=%22report+of+the+research+briefing+panel+on+mathematics%22&source=bl&ots=Sn66AYFZXS&sig=KnJ17nTeF__oI3gwNNlyBq6aZww&hl=ko&sa=X&ved=0ahUKEwiRgZ3ZyqLbAhVEWLwKHchQBYAQ6AEIJjAA#v=onepage&q=%22report%20of%20the%20research%20briefing%20panel%20on%20mathematics%22&f=false
에서 볼 수 있습니다.

도움이 되셨기를...
- 정경훈 드림 (서울대 기초교육원 교수)
어제 모든것의 수다 통계 관련 강의를 들은 고등학교 교사입니다.
학교에서 통계수업을 할 때 학생들이 가진 자료를 이용해 통계를 내주거나 값을 계산해주는 통계프로그램을 추천해주실 수있을까요?
R을 많이 사용하는데 이는 고등학생에게는 어려울 수 있으니까 R 설치이후에 R commander라는 add-on package를 사용하면 보다 편리하게 사용할 수 있습니다. 전희원님의 R 기반 데이터 시각화 document (주소 http://freesearch.pe.kr/archives/3891)를 다운 받아 보시면 R과 R coomander 설치법이 나오고 구글에서 R commander를 검색해보시면 보다 많은 참고문헌을 발견할 수 있을 겁니다.

- 장원철 드림(서울대 통계학과 교수)
어제 리만 가설에 대한 강의를 들었습니다.
리만 가설에 대해 연구한 부분을 다른 수학자와 공유하게 되면
다른 수학자가 증명하게 될까봐 공유하기 힘들것 같은데 실제로 어떤가요
리만가설을 도전하겠다고 선언한다는 건 자기가 누려온 대부분의 것들을 포기하는 것과 같습니다. 잃을게 너무 많아요. 논문의 개수가 현저히 줄어들고 속한 수학커뮤니티로부터 소외받게되고 젊은 사람의 경우 일자리를 잡거나 승진에 치명타를 입을 수 있습니다. 이런걸 무릅쓰고 용감하게 리만가설을 도전하는 젊은이는 극히 드물고 중진 수학자들의 경우 이루어놓은 안전한 성에서 나와 험난한 길을 간다는 걸 기대하긴 매우 힘들죠.
그런데 여런 난관을 극복하고 예를 들면 15년만에 아이디어를 얻었습니다. 다른 수학자와 아이디어를 공유해야하나요? 공유한다는 것이 매우 어려울 것이 예상되죠.
리만가설에 대해서 아이디어가 있는 수학자가 없어요. 그럴듯한 생각을 할 수 있겠지만
현실적으로 그런 생각들을 공유하는 것은 쉽지 않습니다. 한쪽에서만 일방적으로
아이디어를 제공하게 되고 그것을 일일이 설명해야 되는 경우가 많을 겁니다. 시간낭비죠.
(사실 도전도 않하는 사람들에게 접근해서 알려줄 필요가 있을까요?)
우연히 교류가 일어나기도 하는데 균형이 맞는 경우죠. 일방적인 경우가 아니고요.
- 기하서 드림(연세대학교 수학과 교수)
가설을 푼다는 것은 보이지 않는 자연의 이치를 수학적으로 증명해내는 과정이라고 볼때 '리만가설'을 풀면 어떤 원리를 증명해내게 되는 것인가요 ? 정해진 실수의 범위내에서 소수가 몇개인지 알아내는 방정식을 증명한다는 것이 자연의 흐름을 읽을 수 있는 방법을 알아냈다고 할 수 있는 것인가요 ? 수학적 숫자놀음이라고 한다면 아무 의미없는 '숫자 유희'에 지나지 않는 것은 아닌지요 ?
리만가설은 본질적으로는소수의 개수를 주어진 실수까지 정확히 알고 싶은 문제인데 리만제타함수의 영점이 1/2축위에 있다 추측이죠.
거칠게 말하면 이게 전부죠.
그런데 수학을 연구하다보니 각종 제타함수가 있고 그 제타함수들이 리만가설이(영점이 1/2축위에 있다) 있다는 겁니다. 그래서 리만가설은 무수히 많이 있고 제타함수의 특색에따라 다양한 수론의 정보를 정밀히 말해 주고 있죠. 수학에 이런 문제는 리만가설밖에 없습니다.
유희라고 볼 수가 없죠. 인간이 추구해야 될 궁극의 문제입니다.
- 기하서 드림(연세대학교 수학과 교수)
양함수(explicit function, 陽函數)와 음함수(implicit function, 陰函數)라는
이름은 왜 위와 같이 명명하게 된건가요???
양함수, 음함수라고 명명한것은 아마도 일본 책을 가져다 써서 그렇게 불렸던 것 같습니다. 한자의 의미를 생각하면 잘 알 수 있습니다.

가령 x + y - 1 = 0, 이라는 관계식을 생각해 보면, 이 관계식만 보면, x 가 독립 변수(indepedent variable)이고,y 가 종속 변수(dependent variable)인지 확실치 않습니다. 이경우에는 y = -x + 1 로 고쳤쓰면, x가 독립변수가 되고, y가 종속 변수가 됩니다. 물론 주어진 관계식을 x = -y + 1 로도 쓸 수 있습니다. 이경우에는 y가 독립변수이고, x 가 종속 변수가 됩니다.

따라서 함수 관계식 x + y - 1 = 0 을 implicit representation 이라고 부르고, 반면에 y = -x + 1 혹은 x = -y + 1을 함수의 explicity form (즉 독립변수, 종속변수가 명확한 표현) 이라고 부릅니다.

이제 우리가 알고 있는 양 과 음을 생각해 보면, 양은 뭔가 밖으로 드러난것, 반면에 음은 숨어 있는 것의 의미가 있습니다. 예를 들자면 "국정원"을 "음지에서 일한다" 라고 하는데 이때 음은 "드러내지 않고, 숨어서, .... "라는 뜻이 되지요. - 하승열 드림(서울대학교 수리과학부 교수)
명쾌한 답변 감사드립니다. :) episode-20**
수에 대한 개념에 본질은 어떤 것인가요?
우주가 수학적인 재료로 이루어져 있으며, 수학자의 역할은 오직 그것을 발견하는 것인가요?
아니면 마치 색깔을 감각하는 것처럼 자연에 있는 어떤 성질을 인간이 이미 보유하고 있고 이해가능한 형태로 추출하여 감각하는 것인가요?
철학적인 질문을 주셨네요? 고맙습니다.
독일의 수학자였던 크로네커는 "정수는 신이 만들었지만 나머지 모든 것은 인간이 만들었다"고 했습니다.
수학자들도 우주가 돌아가는 모습에서 영감을 얻어서 새로운 이론을 만들어내곤 합니다.
하지만 현대 수학자들은 엄밀성을 추구하기 위해 우리가 사는 우주보다는 수학자들이 건설한 세계인 공리 체계 안에서 참인 명제를 모으고 분류하고 확장하는데 힘을 쏟습니다.
물론 이러한 공리 체계를 만들때 우리가 경험하는 수가 포함되도록, 그리고 우리가 경험하는 우주와 비슷하도록 설계하는 덕에 우주를 잘 설명할 수 있게 되었지요.
무한을 다르는 수학 이론으로 들어가보면 인간이 가진 상식과 어긋나는 특이한 결과들이 많습니다.
어떤 공리를 약속하느냐에 따라 나타나는 세상이 매우 다릅니다.
예컨데, 바나흐 타르스키 역설 같은 것을 처음 보면 대단히 믿기 어렵습니다.
즉 어떻게 보면 수학자들은 우리가 사는 우주가 아닌 자기가 좋아하는 공리로 구성된 세계에서
완벽한 논리로 증명된 사실들이 어떤 모습인지 발견하는 작업을 하고 있다고 생각할 수 있을 것 같습니다.
- 엄상일 드림(카이스트 수리과학과 교수)
미래의 수학자라는 강연과 패널토의에서 Coq는 증명을 도와주는 프로그램이라고 하셨는데요. 그렇다면 Coq는 어떤 방식으로 검증이 되는 건지 궁금합니다.
Coq 증명 보조기는 두 영역으로 나누어져 있습니다.

하나는 논리증명 영역이고, 다른 하나는 완성된 증명의 안전성을 확인하는 검증영역입니다. 논리증명 영역은 수리논리학자들이 기존에 세워 놓은 이론을 코드로 구현한 영역이고, 검증영역은 논리증명 영역에서 생성된 모든 증명과 프로그램이 지정된 결과를 제대로 도출하는가 여부를 최종 확인하는 영역입니다.

논리증명 영역은 기존의 수리논리 이론에 대한 연구결과를 통해 검증되었다고 봅니다. 반면에 검증영역의 경우는 좀 더 어렵습니다. 검증영역은 Coq의 핵심이며 따라서 커널(kernel)에 포함되어 있습니다. 그런데 커널을 구현하는 코드는 3천여 줄에 불과합니다. 따라서 사람들이 섬세한 부분까지 직접 눈으로 조심스럽게 검증을 합니다. 물론 다양한 검증 도구를 이용하기도 합니다. 이런 식으로 사람이 직접, 아니면 도구들 간의 상호검증 방식을 이용합니다.

물론 언급된 방식은 100% 안전성을 보장하지 못합니다. 사실, 어떤 방식을 이용한다 하더라도 Coq과 같은 도구를 100% 검증하는 일은 불가능합니다. 그래서 개발자들은 커널 부분을 절대로 크게 만들지 않습니다. 예상못하는 문제를 피하기 위해서입니다. Automath라는 최초의 자동증명기를 구현한 드 브로인(de Bruijn)이라는 저명한 네덜란드 논리학자가 이미 1970년대에 이 문제를 언급하고 작은 커널을 사용해야 한다는 원칙을 제안하였는데, 그래서 "드 브로인 원칙"이라고 불리기도 합니다. - 이계식 드림(한경대 컴퓨터공학과 교수)
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