K-Class

  • >
  • VIDEO >
  • K-Class
제목 세상 속의 수數 다
작성자 관리자 작성일 2018.04.09 10:36 조회 238

 

 수학1
세상 속의 수數다
강연자 : 고계원_고등과학원 난제연구센터 연구교수
 

 

처음 파트에서는 이번 학기 첫 강의 이므로 이번 강의를 포함하여 앞으로 진행될 10개의 수학, 혹은 수학관련 강연들에 관해 대략적인 소개를 하고자 한다.  두번째 파트에서는 여러 예들을 통해 우리에게 왜 수학적인 사고가 필요한가 그리고 어떻게 유용한가에 관해 함께 생각해 보고자 한다.  세번째 파트에서는 수학이 어떻게 발전하는가에 대한 나의 생각을 함께 들여다 보고자 한다. 네번째 파트에선 나의 연구분야인 동역학계, 카오스에 관한 소개와 이 분야가 발전과정을 살펴보고자 한다.


■ 강연자 : 고계원_고등과학원 난제연구센터 연구교수
■ 패   널 : 강순이_강원대 수학과 교수
■ 사회자 : 김근수_연세대 물리학과 교수

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ 강연자 소개 ]

어렸을 때는 놀기 좋아하는 학생이었다. 집에서 저녁을 먹으라고 부를 때까지 밖에서 놀았던 기억이 많다. 그러나 책임감은 있어서 숙제는 주로 학교에서 해치우고 집에 오자마자 나가서 친구들과 놀았다. 
유학을 가서 다른 대학원생들이 수학을 하는 것을 보고 너무 놀랐던 기억이 있다. 그들은 (혼자가 아닌) 함께 수학을 하고 있었다. 각자가 이해한 것을 서로 확인하는 과정에서 더 풍부하고 깊은 것들을 이해해 나가고 있었다. 나도 늘 학생들에게 수학을 함께 해 보라고 권한다. 


연구분야는 동력학계에서 에르고딕 이론이다. 이 분야는 널리 알려진 카오스(Chaos, not KAOS!) 이론과 연결되어 있다. 특히 정보학에서 잘 알려진 섀넌(Shannon)이 도입한 엔트로피에 관한 연구이다. 엔트로피가 0인 체계가 가지는 성질에 관한 연구는 아직 초보단계이며 한국의 젊은 수학자들과 함께 이런 체계의 복잡도를 이해하고 분류하는 새로운 개념들을 만들어 나가는 연구를 하고 있다.

 

[ 강연요약문 ]

인간이 동물과 다른 점은 추상적인 생각을 할 수 있고 이런 것들을 구체화할 수 있다는 것이다. 예를 들면 우리에게 익숙한 정부 또는 회사라는 개념은 추상적인 것이고 이런 것들은 어떤 동물에서도 찾을 수 없는 것이다. 그러나 우리는 어느 정도 나이가 되면 이런 개념에 익숙해져서 쉽게 받아들인다. 수학도 마찬가지다. 처음엔 어렵게 보이지만 익숙해지면 쉬워진다. 


수학은 철학과 더불어 가장 오래된 역사를 가지고 있는 학문이다. 두 분야는 연구의 대상이 다를 수 있으나 논리적인 사고의 틀을 공유하고 있다. 수학이란 숨어있는 패턴의 발견 그리고 그에 대한 이해의 확장이다. 그리스 시대의 소설이나 시들은 시대가 지남에 따라 사람들에게 잊혀 질 수도 있으나(물론 그 시대의 문학은 인류 역사에 지대한 영향을 미쳤다), 피타고라스 정리나 유클리드의 정리들은 없어지지 않고 지금도 사람들을 수학으로 이끄는 매력을 발휘하고 있다.  

 

(I) 이번 학기 10개의 수학 강연에 대한 간단한 소개 
2018 봄 카오스강연 ‘모든 것의 수다’
수학을 둘러싼 석학들의 ‘수다’  
발전하고 확장하고 있는 수학의 깊이와 폭을 실감할 수 있는 좋은 기회

 

(II) 생활 속의 수數다
수학적 사고는 실생활에서 어떻게 쓰이는가, 수학적 사고의 중요성, 유용성 
 (1) 투표와 수학
 (2) 병원 이야기
 (3) 치약회사 마케팅 부서 이야기
 (4) 법원 이야기

 

(III) 간단한 것에서 중요한 것으로 (from simple to significant)
두 가지를 예로 수학의 추상화가 어떻게 새로운 영역들을 포용하고 확장해 나갈 수 있는지 살펴본다. 
 (1) 무한집합의 크기
 (2) 미분, 적분이란?

 

(IV) KAOS에서의 Chaos 
이 부분에서는 카오스 이론의 기본적인 이해를 통해 현재 왕성하게 연구되고 있는 동역학계연구 분야에 접근하고자 한다. 카오스적인 체계에서도 그 체계가 가지는 어떤 일반적인 성질들을 끌어낼 수 있는가? 이런 체계들 사이에 구별되는 성질은 무엇인가? 
간단한 모델링을 통하여 같은 성질을 가지는 이산적인 체계로 바꾸어 살펴본다. 이러한 체계에 정보이론의 대가인  Shannon 이 제안한 엔트로피를 도입함으로 카오스의 정도를 잴 수 있다. 

 

 

[ 패널 토의 ]


 1. 수학 천재, 재능일까? 노력일까?

우리 대부분은 수학에 대한 좌절의 기억이 있다. 그래서 수학이 천재들의 학문이라고 생각하려는 경향이 있다. 수학자들은 어떻게 생각할까? 노력하면 잘 할 수 있다는 뻔한(?) 답변이 돌아올까? 

 

[3분수학] <유클리드의 소수의 무한성 증명>_강순이_강원대 수학과 교수


 2. 무한대를 본 남자(라마누잔)

제논의 역설을 아는가? 선분을 무한히 나눌 수 있다고 가정하면 아킬레스가 영원히 거북을 따라잡을 수 없다는 것이다. 아니 애초에 운동 자체가 불가능하다는 얘기다. 왜냐하면 일정 길이만큼 가기 위해서는 그 절반의 길이를 가야하고 그 길이를 가기 위해서는 또 그 절반의 길이를 가야하고 또 그 절반을 가야하고 ... 이래서 아예 출발조차 할 수 없다는 것이다. 무한의 세상에서는 정말 희한한 일들이 벌어진다. 


 3. 수학자의 결정적 순간 : 나를 수학으로 이끈 것은...

 

* 수학이야기 : 유클리드의 소수의 무한성 증명 *
2, 3, 5, 7, 11... 이와 같이 1과 자신 외에는 나눌 수 있는 수(인수)가 없는 수를 
소수라 한다. 이런 소수는 무한히 존재할까? 무한히 존재한다면 이를 증명할 수 있을까? 
무려 2300여 년 전에 그리스의 수학자 유클리드(그리스식 이름으로는 에우클레이데스)
는 소수가 무한히 존재한다는 사실을 너무도 아름다운 방법으로 증명한다.  


(증명)


소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그러면 그들 소수 중에는 가장 큰 소수가 있을 것이고 그것을 p라 놓을 수 있다. 그리고 그들 소수들을 모두 곱한 것에 1을 더한 수 a를 가정하자.
a=(2·3·5·7·…·p)+1 


만약 a가 소수라면 a는 p보다 크므로 p가 가장 큰 소수라는 애초의 가정이 틀리게 된다. 
만약 a가 소수가 아니라면(합성수라면) 이 수는 2, 3, 4, 7, ..., p가 아닌 소수를 그 인수로 가져야 한다. 
왜냐하면 a를 2, 3, 5, 7, …, p로 나눌 때 1을 남기게 되므로 이들은 a의 인수가 될 수 없기 때문이다. (이해가 되는가?) 그렇다면 다른 인수가 있어야 하는데 기존의 소수는 작은 순서대로 2, 3, 4, 7, ..., p 밖에 없다고 가정했으므로 그보다 큰 다른 소수가 존재해야 한다. 


예를 들어 가장 큰 소수 p=13이라고 하면, a=(2·3·5·7·…·13)+1=30031=59×509가 되므로 
새로운 소수 59와 509가 존재하게 된다. 


따라서 애초에 소수의 개수가 유한다는 가정은 잘못이다. 그러므로 소수는 무한히 많다. (QED!) 

 

 

 ※ 참고영화: 무한대를 본 남자(The man who knew INFINITY)

 

전체 0 개의 코멘트가 있습니다.
0 / 500byte